الموضوع النموذجي 1 · رياضيات العام (النوفيام)

لكلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات مقترحة، واحدة فقط منها صحيحة. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والحرف الموافق للإجابة الصحيحة.

1. العدد ⁦3²⁰²⁶ + 3²⁰²⁵⁩ يقبل القسمة على:
   أ) 5ب) 4ج) 7
2. نختار عشوائيًا عددًا من بين الأعداد الصحيحة الطبيعية من 1 إلى 20. احتمال أن يكون هذا العدد مضاعفًا لـ 3 أو مضاعفًا لـ 5 هو:
   أ) ⁦1/2⁩ب) ⁦2/5⁩ج) ⁦9/20⁩
3. الكتابة العلمية للعدد ⁦0,00042 × 5 × 10⁸⁩ هي:
   أ) ⁦2,1 × 10⁵⁩ب) ⁦2,1 × 10⁴⁩ج) ⁦2,1 × 10¹²⁩

نعتبر العددين الحقيقيين ⁦a = (√7 + √3)/2⁩ و ⁦b = (√7 − √3)/2⁩.

1. بيّن أنّ ⁦a × b = 1⁩. ماذا تستنتج بالنسبة إلى العددين a و b؟
2. أ) بيّن أنّ ⁦a² = (5 + √21)/2⁩.
   ب) استنتج أنّ ⁦b² = (5 − √21)/2⁩ ثمّ احسب ⁦a² + b²⁩.
3. أ) احسب ⁦a + b⁩ و ⁦a − b⁩.
   ب) استنتج أنّ ⁦a² − b² = √21⁩.
4. أ) بيّن أنّ ⁦a > 1⁩ ثمّ استنتج أنّ b < 1.
   ب) بسّط العبارة ⁦E = |a − 1| + |b − 1|⁩.

I. نعتبر العبارة ⁦A = x² + 4x − 21⁩ حيث x عدد حقيقي.

1. بيّن أنّ ⁦A = (x + 2)² − 25⁩.
2. فكّك A إلى جذاء عاملين من الدرجة الأولى.
3. حلّ في ℝ المعادلة ⁦A = 0⁩ ثمّ المعادلة ⁦A = −21⁩.
4. أ) بيّن أنّ ⁦A ≤ 0⁩ تعني ⁦|x + 2| ≤ 5⁩.
   ب) استنتج في شكل مجال مجموعة حلول المتراجحة ⁦A ≤ 0⁩ في ℝ.

II. (وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). ABCD مستطيل حيث ⁦AB = x + 7⁩ و ⁦BC = x − 3⁩ مع ⁦x > 3⁩.

1. بيّن أنّ مساحة المستطيل ABCD تساوي A.
2. جد قيمة x حتّى تكون مساحة المستطيل ABCD مساوية لـ ⁦39 cm²⁩، ثمّ احسب في هذه الحالة محيطه.

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). في الرسم المقابل ABC مثلث حيث ⁦AB = 6⁩ و ⁦AC = 8⁩ و ⁦BC = 10⁩، و I منتصف ⁦[BC]⁩.

1. بيّن أنّ المثلث ABC قائم في A، ثمّ استنتج أنّ النقطة A تنتمي إلى الدائرة ζ التي قطرها ⁦[BC]⁩.
2. لتكن H المسقط العمودي للنقطة A على (BC). احسب AH ثمّ BH.
3. M نقطة من ⁦[AB]⁩ حيث ⁦BM = 1,5⁩. المستقيم المارّ من M والموازي لـ (BC) يقطع ⁦[AC]⁩ في N.
   أ) احسب AN و MN.
   ب) المستقيم (AI) يقطع ⁦[MN]⁩ في K. بيّن أنّ K منتصف ⁦[MN]⁩.
4. لتكن G مركز ثقل المثلث ABC. احسب AG ثمّ بيّن أنّ G تنتمي إلى القطعة ⁦[AK]⁩.

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). ABCDEFGH متوازي مستطيلات حيث ⁦AB = 4⁩ و ⁦BC = 3⁩ و ⁦AE = 12⁩.

1. احسب AC ثمّ بيّن أنّ ⁦EC = 13⁩.
2. أ) بيّن أنّ المستقيم (BC) عمودي على المستوي (ABF).
   ب) استنتج أنّ المثلث EBC قائم في B ثمّ احسب EB.
3. احسب حجم متوازي المستطيلات ABCDEFGH ثمّ حجم الهرم EABCD، وتحقّق من أنّ حجم الهرم يساوي ثلث حجم متوازي المستطيلات.